Es gibt Funktionen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches IR mit ihrer Ableitungsfunktion übereinstimmen.
Die erste Funktion ist relativ "langweilig"; es ist die Funktion f(x) = 0 mit f'(x) = 0.
Die zweite Funktion mit dieser interessanten Eigenschaft sollen Sie an dieser Stelle selbst konstruieren. Zeichnen Sie dazu ein Koordinatensystem mit einer x–Achse von -1 bis 2 (1 Einheit = 4 cm) und einer y-Achse von -1 bis 10 (1 Einheit = 2 cm). Führen Sie die in der folgenden Konstruktionsvorschrift beschriebene Konstruktion durch.
1. Näherungskonstruktion
Schritt 1
Markieren Sie den Punkt P0(0|1) als ersten Punkt dieses Graphen von f. Wenn der Wert der 1. Ableitung an dieser Stelle gleich dem Funktionswert von f(0) sein soll, heißt dies, dass f'(0) = 1 gilt.
Schritt 2
Zeichnen Sie die 1. Tangente t1 mit der Steigung m1 = 1 an den gesuchten Graphen von f im Punkt P0(0|1).
Diese Tangente nähert, man sagt approximiert, den Graphen von f in der Umgebung der Stelle x0 = 0 an. Nimmt man für diese Umgebung von x0 den relativ großen Radius Δx = 1 (man spricht auch von der Schrittweite Δx) an, so hätte die Funktion f an der Stelle x1 = 1 einen Funktionswert in der Nähe des Funktionswertes der Tangente t1. Die Tangente hat an dieser Stelle x1 = 1 den Funktionswert 2.
Die gesuchte e(legante) Funktion f muss natürlich an dieser Stelle x1 einen größeren Funktionswert haben, da sie im Intervall [0,1] durch die größeren Funktionswerte auch steiler verlaufen muss. Sie soll ja an jeder Stelle eine Steigung haben, die mit dem Funktionswert übereinstimmt. Dies soll jetzt in dem Punkt P1(1|2) der Tangente t1 berücksichtigt werden.
Schritt 3
Zeichnen Sie die 2. Tangente t2 mit der Steigung m2 = 2 von dem Punkt P1(1|2) ausgehend.
Schritt 4
Diese Tangente verläuft an der Stelle x2 = x1 + Δx = 1 + 1 = 2 durch den Punkt P2(2|4). Markieren Sie diesen Punkt.
Ergebnis der 1. Näherungskonstruktion:
Die in der Näherungskonstruktion mit der Schrittweite Δx = 1 gewonnenen Punkte P1 und P2 liegen unterhalb der gesuchten e(leganten) Funktion f.
Die Approximation kann verbessert werden, wenn die Schrittweite Δx verkleinert wird.
2. Näherungskonstruktion
Führen Sie die in den Schritten 1 bis 4 beschriebene Konstruktion in dem gleichen Koordinatensystem mit der Schrittweite Δx = 0,5 durch. Sie erhalten im Intervall [0;2] die Punkte P0(0|1), P1(0,5|...), P2(1|...), P3(1,5|...) und P4(2|...). (Hinweis: Lesen Sie ihre Koordinaten nicht aus der Zeichnung ab, sondern berechnen Sie diese mithilfe der Tangentenstücke.)
Ergebnis der 2. Näherungskonstruktion:
Die in der Näherungskonstruktion mit der Schrittweite Δx = 0,5 gewonnenen Punkte P1, P2, P3 und P4 nähern die gesuchte e(leganten) Funktion f besser an, liegen aber immer noch unterhalb von f.
3. Näherungskonstruktion
Führen Sie die in den Schritten 1 bis 4 beschriebene Konstruktion in dem gleichen Koordinatensystem mit der Schrittweite Δx = 0,25 durch. Sie erhalten im Intervall [0;2] die Punkte P0(0|1), P1(0,25|...), P2(0,5|...), ... und P8(2|...).
Vergleich mit den Exponentialfunktionen
Zeichnen Sie das gleiche Koordinatensystem die Graphen der Exponentialfunktionen g(x) = 2x und h(x) = 3x, mithilfe einer Wertetabelle mit der Schrittweite 0,25.
Vergleichen Sie die Graphen der beiden Exponentialfunktionen mit dem aus den Näherungskonstruktionen gewonnenen Graphen.