Die Schaukel ist das anschauliche Beispiel eines Pendels, das wohl jedem bekannt ist. Dabei hängt (bzw. sitzt auf einem Brett) eine Masse (meistens ein Kind, ab und zu auch ein Erwachsener) an einem Seil, das an einem Punkt befestigt ist.
Der Physiker unterscheidet bei solchen Pendeln das "physikalische Pendel" und das "mathematische Pendel". Beim physikalischen Pendel wird die Verteilung der Masse im gesamten Pendel berücksichtigt. Ein Beispiel ist das schwingende Bein eines Menschen beim Laufen oder das Pendel einer großen Pendeluhr.
Beim Modell des mathematischen Pendels befindet sich die gesamte punktförmige Masse am Ende der "masselosen" starren Aufhängung. Dieses mathematische Pendel ist relativ leicht in sehr guter Näherung im Experiment zu realisieren. Im Folgenden soll nur dieses mathematische Pendel betrachtet werden.
Im folgenden Applet kann man mit den Schiebereglern zum einen die Amplitude (in Grad) dieser Schwingung einstellen und zum anderen die Schwingung für zwei Periodendauern zeitlich simulieren. Durch Anklicken des Punktes auf dem Schieberegler für die Phase können Sie mit den Cursortasten die Phase gleichmäßig verändern. Die Spurpunkte werden bei einem neuen Laden der Seite gelöscht.
Die Masse beim Fadenpendel führt eine Kreisbewegung aus, deren rücktreibende Kraft zur Ruhelage durch die Gravitationskraft entsteht. Die Größen und Gesetze bei der Kreisbewegung kann man in Analogie zur geradlinigen Bewegung aufstellen.
| Geradlinige Bewegung | Kreisbewegung |
| Strecke s | Winkel φ |
| Geschwindigkeit v | Winkelgeschwindigkeit ω |
| Beschleunigung | Winkelbeschleunigung |
| Masse m | Trägheitsmoment Θ |
| Kraft F | Drehmoment M = Fs × l Fs ist die Kraft senkrecht zur Strecke l vom Angriffspunkt zum Drehpunkt |
Es ergibt sich damit die folgende Gleichung zur Beschreibung der Bewegung:
Das Trägheitsmoment für eine Masse m, die sich im Anstand l vom Drehpunkt befindet, berechnet sich mit
Es folgt damit: (1)
In dem folgenden Applet können Sie simulieren, wie sich die rücktreibende Kraft FR in Abhängigkeit vom Auslenkungswinkel φ ändert, indem Sie den Punkt P bewegen. Das nebenstehende Diagramm stellt die Abhängigkeit FR(φ) dar.
Es gilt:
Eingesetzt in (1) ergibt sich: (2)
Es handelt sich um eine Differenzialgleichung für die zeitabhängige Größe φ. Allerdings ist die 2. Ableitung von φ nicht proportional zu φ selber, so dass die Sinusfunktion als Lösung für φ(t) ausscheidet.
An dem Diagramm auf der rechten Seite des Applets sieht man allerdings, dass für kleine Winkel φ die rücktreibende Kraft
Dies können Sie im nächsten Applet genauer untersuchen. Verschieben Sie den Punkt Px auf der 1. Achse und ermitteln Sie, bis zu welchem Winkel die Abweichung geringer als 1 % ist.
Statt des Winkels kann man auch den Bogen b als Maß für die Elongation wählen. Es gilt folgender Zusammenhang:
Eingesetzt in (2) ergibt sich:
(3)
Dies ist eine Differenzialgleichung für die Bogenlänge b, deren Lösungsfunktion eine Funktion der Form
Eine zweite Möglichkeit einer analytischen Näherungslösung ergibt sich, wenn man den Bogen b durch die horizontale Strecke s (vergl. folgendes Applet) annähert. Mithilfe der Beziehung
Im folgenden Applet können Sie die Abweichung der beiden Größen b und s durch Verschieben des Punktes P ermitteln.
Für Winkel φ<14° (Kleinwinkelnäherung) ist der Fehler kleiner als 1 %, wenn man die Bogenlänge b durch die Strecke s ersetzt. Dies ist natürlich die gleiche Näherung wie oben, da der Bogen dem Winkel und die Strecke s dem Sinus dieses Winkels entspricht. Es ergibt sich folgende Differenzialgleichung für die horizontale Elongation s: (4)
Sie hat die gleiche Gestalt wie die Differenzialgleichung für die Bogenlänge b.
Diese Gleichung kann man jetzt mit dem Ansatz
Diese Gleichung ist nur dann für alle
Für die Schwingungsdauer T des mathematischen Pendels für kleine Winkel gilt damit