Bisher haben wir für verschiedene (ausgewählte) Funktionen den Differentialquotienten für beliebige Stellen a hergeleitet. Mit diesem Arbeitsblatt sollen verschiedene Funktionsklassen untersucht werden - mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten zu erkennen.

In den folgenden Apletts sind jeweils die Graphen von Funktionen (schwarz) und eine Tangente an diesen Graphen in einem Punkt P (blau) abgebildet. Der Punkt P kann mit Hilfe der Maus auf dem Graphen bewegt werden. Der orange Punkt stellt die Zuordnung x zur Steigung der Funktion an der Stelle x dar. Die Steigung der Funktion an einer Stelle x bezeichnen wir Ableitung der Funktion an der Stelle x.

Aufgabe 1: Potenzfunktionen xⁿ mit n>1

Im Folgenden sollen einige Potenzfunktionen mit positivem ganzzahligen Exponenten untersucht werden.

• Welcher Graph entsteht jeweils, wenn die Ableitungen an allen Stellen der Funktion dargestellt werden?
• Finde eine allgemeine Regel.

Aufgabe 2: Potenzfunktionen xⁿ mit n<0

Im Folgenden sollen weitere Potenzfunktionen untersucht werden.

• Welcher Graph entsteht jeweils, wenn die Ableitungen an allen Stellen der Funktion dargestellt werden?
• Finde eine allgemeine Regel. Vergleiche mit Aufagbe 1.

Aufgabe 3: Regel für die Ableitung von Potenzfunktionen

Die Ergebnisse aus Aufgabe 1 und Aufgabe 2 werden zusammen gefasst.

• Fasse die Regeln aus Aufgabe 1 und Aufgabe 2 in einer Regel zusammen.
• Gilt die Regel auch für die bisher ausgeklammerten Funktionen f(x)=x und f(x)=1. (Diese Funktionen wurden im Unterricht abgeleitet.)
• Zusatz: Weise allgemein (mit Hilfe des Differentialquotienten) die gefundene Regel nach.

Aufgabe 4: Trigonometrische Funktionen

Im Folgenden sollen die trigonometrischen Funktionen f(x)= sin(x) und f(x)= cos(x) untersucht werden.

• Welcher Graph entsteht jeweils, wenn die Ableitungen an allen Stellen der Funktion dargestellt werden?